훅의 법칙

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1. 개요

훅의 법칙은 탄성체의 변형과 복원력 사이의 관계를 설명하는 물리 법칙이다. 이 법칙은 변형이 작을 때, 물체에 가해지는 힘(F)이 변형량(x)에 비례하며, 복원력의 방향은 변형 방향과 반대임을 나타낸다. 훅의 법칙은 용수철, 탄성 재료의 응력-변형률 관계, 조화 진동자 등 다양한 물리 현상을 이해하는 데 사용되며, 텐서 표현을 통해 3차원 물체의 변형을 설명하는 데에도 적용된다. 또한, 유체 흐름, 전자기 현상 등 다른 물리 법칙과 수학적으로 유사한 형태를 갖는다. 훅의 법칙은 탄성 재료의 선형성을 가정하며, 영률과 푸아송 비와 같은 탄성 계수를 통해 재료의 특성을 나타낸다.

2. 정의

1. 극한 강도

2. 항복 응력 (항복점)

3. 파단 강도 (파단점)

4. 소성 경화 영역

5. 넥킹 영역

A: 공칭 응력 (F/A₀)

B: 진 응력 (실 응력) (F/A)]]

가장 흔히 사용되는 형식의 훅의 법칙은 용수철 방정식이다. 용수철 방정식에서는 힘과 용수철의 자연 길이로부터의 늘어남이 용수철 상수 ''k''(단위는 단위 길이당 힘)에 의해 연결되어 있다.

: ''F'' = -''kx''

마이너스 부호는 용수철에 의한 힘이 변위와 정반대 방향으로 작용한다는 것을 나타낸다. 이 힘은 계를 평형 상태로 되돌리도록 작용하기 때문에 '''복원력'''이라고 불린다.

용수철에 축적된 포텐셜 에너지는

: ''U'' = 1/2''kx''²

로 주어진다. 이 식은 용수철을 서서히 밀어 줄이는 데 필요한 에너지를 더함으로써, 즉 힘을 거리에 관해 적분하여 얻어진다. 용수철의 포텐셜 에너지는 항상 양수이다.

이 포텐셜을 ''U''-''x'' 면에 그리면 포물선(이차 함수의 그래프)이 된다. 용수철이 ''x''의 양의 방향으로 늘어남에 따라 포텐셜 에너지는 증가한다(용수철을 줄인 경우에도 같은 일이 일어난다). 또한 평형 위치(''x'' = 0)가 가장 에너지가 낮기 때문에 용수철은 포텐셜 에너지를 작게 하도록 평형 위치로 되돌아가려 한다.

만약 질량 ''m''인 물체가 용수철에 연결되어 있다면, 그 계는 조화 진동자가 된다. 이 계는 다음 식으로 주어지는 기본 진동수로 진동한다.

: ''ω'' = √(''k''/''m'') [ 라디안 매초 ] (각진동수)

또는

: ''f'' = 1/(2π) √(''k''/''m'') 헤르츠

여기서 ''f''는 주파수이므로 ''ω'' = 2π''f''이다.

2. 1. 선형 용수철

고정된 물체에 한쪽 끝이 고정되고, 자유 단이 크기가 인 힘에 의해 당겨지는 나선형 스프링을 생각할 때, 스프링이 평형 상태에 도달하여 길이가 더 이상 변하지 않는다고 가정하면, 훅의 법칙은 다음과 같이 나타낼 수 있다.^[4]

:

F_s = kx

:

x = \frac{F_s}{k}

여기서 는 스프링 자유 단의 변위량(늘어나지 않은 "이완된" 위치 기준)이고, 는 스프링의 특성을 나타내는 양의 실수이다. 코일 사이에 간격이 있는 스프링은 압축될 수 있으며, 이 경우 와 가 모두 음수이므로 동일한 공식이 적용된다.^[4]

이 공식에 따르면, 변위 에 대한 적용된 힘 의 그래프는 원점을 지나는 직선이며, 기울기는 이다.

훅의 법칙은 가 스프링이 자유 단을 당기는 모든 것에 가하는 복원력이라는 규약 하에 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

F_s = -kx

이는 복원력의 방향이 변위의 방향과 반대이기 때문이다.

가장 흔히 사용되는 형식의 훅의 법칙은 용수철 방정식으로, 힘과 용수철의 자연 길이로부터의 늘어남이 용수철 상수 (단위 길이당 힘)에 의해 연결된다.

:

F = -kx

마이너스 부호는 용수철에 의한 힘이 변위와 정반대 방향으로 작용한다는 것을 나타낸다. 이 힘은 계를 평형 상태로 되돌리도록 작용하기 때문에 '''복원력'''이라고 불린다.

용수철에 축적된 포텐셜 에너지는 다음과 같다.

:

U={1\over2}kx^2

이 식은 용수철을 서서히 밀어 줄이는 데 필요한 에너지를 더함으로써, 즉 힘을 거리에 관해 적분하여 얻어진다. 용수철의 포텐셜 에너지는 항상 양수이다.

이 포텐셜을 ''U''-''x'' 면에 그리면 포물선(이차 함수의 그래프)이 된다. 용수철이 ''x''의 양의 방향으로 늘어남에 따라 포텐셜 에너지는 증가하며, 용수철을 줄인 경우에도 마찬가지다. 평형 위치(''x'' = 0)가 가장 에너지가 낮기 때문에 용수철은 포텐셜 에너지를 작게 하도록 평형 위치로 되돌아가려 한다.

만약 질량 ''m''인 물체가 용수철에 연결되어 있다면, 그 계는 조화 진동자가 된다. 이 계는 다음 식으로 주어지는 기본 진동수로 진동한다.

:

\omega =  \sqrt{k \over m}

\[\[라디안 매초]]（각진동수）

또는

:

f = {1 \over 2 \pi} \sqrt{k \over m}

\[\[헤르츠 (단위)|헤르츠]]

여기서 는 주파수이므로

\omega = {2 \pi f}

이다.

2. 2. 비틀림 용수철

훅의 법칙의 비틀림에 대한 유추는 비틀림 스프링에 적용된다. 이 법칙은 물체를 회전시키는 데 필요한 토크(τ)가 평형 위치로부터의 각 변위(θ)에 정비례한다고 명시한다. 이는 물체에 가해지는 토크와 그로 인한 비틀림으로 인한 각 변형 간의 관계를 설명한다.

수학적으로 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

\tau = -k\theta

여기서:

τ는 뉴턴-미터로 측정되는 토크이다.
k는 비틀림 상수(뉴턴-미터/라디안으로 측정)이며, 비틀림 스프링의 강성 또는 각 변위에 대한 저항을 특징짓는다.
θ는 평형 위치로부터의 각 변위(라디안으로 측정)이다.

선형적인 경우와 마찬가지로, 이 법칙은 토크가 각 변위에 비례한다는 것을 보여주며, 음의 부호는 토크가 각 변위와 반대 방향으로 작용하여 시스템을 다시 평형 상태로 되돌리는 복원력을 제공한다는 것을 나타낸다.

2. 3. 일반적인 "스칼라" 용수철

훅의 법칙은 변형과 응력이 양수와 음수 모두 될 수 있는 탄성 물체에 일반적으로 적용된다. 예를 들어, 두 개의 평행한 판에 부착된 고무 블록이 신장 또는 압축 대신 전단에 의해 변형될 때, 전단력과 판의 측면 변위는 훅의 법칙을 따른다(충분히 작은 변형에 대해). 또한 양쪽 끝에서 지지되는 직선 강철 막대나 콘크리트 보가 중간 지점에 놓인 무게에 의해 구부러질 때도 훅의 법칙이 적용된다. 이 경우 변위는 하중이 가해지지 않은 형태에 비해 횡 방향으로 측정된 보의 편향이다.

[[File:Stress v strain A36 2.svg|thumb|right|300px|저탄소 강철의 응력-변형률 선도. 훅의 법칙은 곡선 전체 중 원점과 항복점 사이의 일부에서만 성립한다.

1. 극한 강도

2. 항복 응력 (항복점)

3. 파단 강도 (파단점)

4. 소성 경화 영역

5. 넥킹 영역

A: 공칭 응력 (F/A₀)

B: 진 응력 (실 응력) (F/A)]]

가장 흔히 사용되는 훅의 법칙은 용수철 방정식이며, 용수철에 의한 힘과 용수철의 자연 길이로부터의 늘어남은 용수철 상수 ''k''(단위는 단위 길이당 힘)에 의해 연결된다.

:''F'' = -''kx''

여기서 마이너스 부호는 용수철에 의한 힘이 변위와 정반대 방향으로 작용한다는 것을 나타낸다. 이 힘은 계를 평형 상태로 되돌리도록 작용하기 때문에 복원력이라고 불린다.

용수철에 축적된 포텐셜 에너지는 다음과 같다.

:''U'' = 1/2 ''kx''²

이 에너지는 용수철을 서서히 밀어 줄이는 데 필요한 에너지를 더함으로써, 즉 힘을 거리에 관해 적분하여 얻어진다. 용수철의 포텐셜 에너지는 항상 양수이다.

이 포텐셜을 ''U''-''x'' 면에 그리면 포물선이 된다. 용수철이 ''x''의 양의 방향으로 늘어남에 따라 포텐셜 에너지는 증가하며, 용수철을 줄인 경우에도 마찬가지이다. 평형 위치(''x'' = 0)가 가장 에너지가 낮기 때문에 용수철은 포텐셜 에너지를 작게 하도록 평형 위치로 되돌아가려 한다.

만약 질량 ''m''인 물체가 이러한 용수철에 연결되어 있다면, 그 계는 조화 진동자가 된다. 이 계는 다음 식으로 주어지는 기본 진동수로 진동한다.

:''ω'' = √(''k''/''m'') [라디안 매초] (각진동수)

또는

:''f'' = 1/(2π) √(''k''/''m'') 헤르츠

여기서 ''f''는 주파수이므로 ''ω'' = 2π''f''이다.

2. 4. 벡터 표현

나선형 축대칭 스프링이 축을 따라 늘어나거나 압축되는 경우, 가해지는 힘과 그 결과로 나타나는 신장 또는 압축은 동일한 방향(축의 방향)을 갖는다. 따라서, F_s와 x를 벡터로 정의하면, 훅의 법칙은 여전히 성립하며, 힘 벡터는 고정된 스칼라에 변위 벡터를 곱한 값이라고 말한다.

가장 흔히 사용되는 형식의 훅의 법칙은 아마도 용수철 방정식일 것이다. 용수철 방정식에서는 힘과 용수철의 자연 길이로부터의 늘어남이 용수철 상수 *k*(단위는 단위 길이당 힘)에 의해 연결되어 있다.

: ''F'' = -''kx''

마이너스 부호는 용수철에 의한 힘이 변위와 정반대 방향으로 작용한다는 것을 나타낸다. 이 힘은 계를 평형 상태로 되돌리도록 작용하기 때문에 복원력이라고 불린다.

[[파일:Stress v strain A36 2.svg|thumb|right|300px|저탄소 강철의 응력-변형률 선도. 훅의 법칙은 곡선 전체 중 원점과 항복점 사이의 일부에서만 성립한다.

1. 극한 강도

2. 항복 (물리)|항복 응력 (항복점)

3. 파단 강도 (파단점)

4. 가공 경화|소성 경화 영역

5. 넥킹 영역

A: 공칭 응력 (F/A₀)

B: 진 응력 (실 응력) (F/A)]]

용수철에 축적된 포텐셜 에너지는

: ''U'' = 1/2''kx''²

로 주어진다. 이 에너지의 식은 용수철을 서서히 밀어 줄이는 데 필요한 에너지를 더함으로써 얻어진다. 즉, 힘을 거리에 관해 적분하는 것과 같다. 용수철의 포텐셜 에너지는 항상 부호가 양수이다.

이 포텐셜을 ''U''-''x'' 면에 그리면 포물선(이차 함수의 그래프)이 된다. 용수철이 ''x''의 양의 방향으로 늘어남에 따라 포텐셜 에너지는 증가한다(용수철을 줄인 경우에도 같은 일이 일어난다). 또한 평형 위치(''x'' = 0)가 가장 에너지가 낮기 때문에 용수철은 포텐셜 에너지를 작게 하도록 평형 위치로 되돌아가려 한다. 이는 포텐셜 에너지의 그래프 위를 중력에 의한 포텐셜을 최소화하도록 공이 굴러 떨어지는 것과 유사하다.

만약 질량 ''m''인 물체가 이러한 용수철에 연결되어 있다면, 그 계는 조화 진동자가 된다. 이 계는 다음 식으로 주어지는 기본 진동수로 진동한다.

: ω = √(''k''/''m'') [라디안 매초] (각진동수)

또는

: ''f'' = 1/(2π) √(''k''/''m'') [헤르츠]

여기서 ''f''는 주파수이므로 ω = 2π''f''이다.

3. 훅의 법칙의 텐서 표현

어떤 삼차원 물체가 변형되는 것을 표현할 때, 훅의 법칙의 텐서 표현을 사용해 이를 표현할 수 있다. 훅의 법칙의 텐서 표현은 변형력텐서 $\sigma_{ij}$ 와 변형텐서 $\epsilon_{ij}$ 의 관계를 설명해주는 법칙으로, 다음과 같이 4계 텐서인 탄성상수텐서 $C_{ijkl}$ 를 사용해 두 텐서의 관계를 나타낸다.

: $\sigma_{ij} = C_{ijkl} \epsilon_{kl}$

여기서 아인슈타인 표기법이 쓰였다.

일부 탄성체는 다른 방향의 힘이 가해질 때 한 방향으로 변형된다. 예를 들어, 수직이나 수평이 아닌 가로 하중에 의해 구부러지는 정사각형이 아닌 직사각형 단면을 가진 수평 나무 보가 있다. 이러한 경우, 변위의 ''크기''는 힘의 크기에 비례한다. 그러나 힘과 변위 ''벡터''는 방향이 다르기 때문에 서로 스칼라 배수가 아니다.

하지만 이러한 경우에도 힘과 변형 벡터 사이에는 선형 관계가 존재한다. 즉, 변형이 충분히 작으면, 벡터에서 벡터로의 함수 가 존재한다. 임의의 실수 , 및 임의의 변위 벡터 , 에 대해 다음이 성립한다.

:

이러한 함수를 (2차) 텐서라고 한다.

데카르트 좌표계를 기준으로, 힘과 변위 벡터는 실수 3 × 1 행렬로 표현될 수 있다. 그런 다음 이들을 연결하는 텐서 는 실수 계수 3 × 3 행렬 로 표현될 수 있으며, 이는 변위 벡터와 곱해질 때 힘 벡터를 제공한다.

$\mathbf{F} \,=\,\begin{bmatrix} F_1\\ F_2 \\ F_3 \end{bmatrix} \,=\,\begin{bmatrix}\kappa_{11}& \kappa_{12}& \kappa_{13}\\\kappa_{21}& \kappa_{22}& \kappa_{23}\\\kappa_{31}& \kappa_{32}& \kappa_{33}\end{bmatrix}\begin{bmatrix} X_1\\ X_2 \\ X_3 \end{bmatrix}\,=\, \boldsymbol{\kappa} \mathbf{X}$

즉,

: $F_i = \kappa_{i1} X_1 + \kappa_{i2} X_2 + \kappa_{i3} X_3$

이다. 따라서 훅의 법칙은 물체의 강성이 단일 실수 가 아닌 텐서 로 표현된다고 할 수 있다.

3차원 응력이 작용하는 상태에서는 81개의 탄성 계수를 갖는 4계 탄성 계수 텐서 ( $c_{ijkl}$ ), 응력 텐서 ( $\sigma_{ij}$ ), 변형률 텐서 ( $\varepsilon_{kl}$ , 또는 그린 변형률 텐서)가 정의되며, 다음과 같은 관계를 가진다.

: $\sigma_{ij} = \sum_{kl} c_{ijkl} \cdot \varepsilon_{kl}$

탄성 계수 텐서는 81개의 탄성 계수를 가지지만, 응력 텐서, 변형률 텐서, 강성 텐서의 대칭성에 의해, 이방성을 나타내는 물질에서도 21개의 탄성 계수만이 독립적이다.

응력은 압력의 단위로 표시되며, 변형률은 무차원량일 때, $c_{ijkl}$ 의 성분도 압력의 단위로 표시된다.

큰 변형에 대한 일반화로서는 네오-훅 고체나 무니-리블린 고체에 의해 주어진다.

3. 1. 연속 매질에서의 훅의 법칙

연속체 역학에서 연속 탄성 재료(예: 고무 블록, 보일러 벽 또는 강철 막대) 내부의 응력과 변형은 훅의 스프링 법칙과 수학적으로 유사한 선형 관계에 있으며, 종종 그 이름으로 불린다.^[5]

어떤 점 주변의 고체 매질의 변형 상태는 단일 벡터로 설명할 수 없다. 동일한 재료 덩어리는 아무리 작더라도 서로 다른 방향으로 동시에 압축, 늘리고 전단될 수 있다. 마찬가지로, 해당 덩어리의 응력은 한 번에 밀고, 당기고, 전단될 수 있다.

이러한 복잡성을 포착하기 위해, 점 주변의 매질의 관련 상태는 변형률 텐서 ε (변위 X 대신) 및 응력 텐서 σ (복원력 F 대체)로 나타내야 한다. 연속 매질에 대한 훅의 법칙은 다음과 같다.

:

\sigma_{ij} = C_{ijkl} \epsilon_{kl}

여기서 c는 일반적으로 강성 텐서 또는 탄성 텐서라고 하는 4차 텐서이고, 아인슈타인 표기법이 사용되었다. 또한 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

\boldsymbol{\varepsilon} = \mathbf{s} \boldsymbol{\sigma},

여기서 텐서 s는 탄성 텐서라고 하며, 상기 선형 매핑의 역을 나타낸다.

데카르트 좌표계에서 응력 및 변형률 텐서는 3 × 3 행렬로 나타낼 수 있다.

:

\boldsymbol{\varepsilon} \,=\, \begin{bmatrix}\varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} & \varepsilon_{13}\\\varepsilon_{21} & \varepsilon_{22} & \varepsilon_{23}\\\varepsilon_{31} & \varepsilon_{32} & \varepsilon_{33}\end{bmatrix} \,;\qquad\boldsymbol{\sigma} \,=\, \begin{bmatrix}\sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\\sigma_{21} & \sigma_{22} & \sigma_{23} \\\sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33}\end{bmatrix}

9개의 숫자 ''σ_ij''와 9개의 숫자 ''ε_kl'' 사이의 선형 매핑이기 때문에 강성 텐서 c는 3 × 3 × 3 × 3 = 81개의 실수 ''c_ijkl''로 구성된 행렬로 나타낸다. 훅의 법칙은 다음과 같다.

:

\sigma_{ij} = \sum_{k=1}^3 \sum_{l=1}^3 c_{ijkl} \varepsilon_{kl}

여기서 ''i'',''j'' = 1,2,3이다.

세 개의 텐서 모두 일반적으로 매질 내부의 점마다 다르며 시간에 따라 달라질 수도 있다. 변형률 텐서 ε는 단지 점의 이웃에 있는 매질 입자의 변위를 지정하는 반면, 응력 텐서 σ는 인접한 매질 덩어리가 서로 가하는 힘을 지정한다. 따라서 재료의 구성 및 물리적 상태와는 독립적이다. 반면에 강성 텐서 c는 재료의 특성이며 종종 온도, 압력 및 미세 구조와 같은 물리적 상태 변수에 따라 달라진다.
σ, ε 및 c의 고유한 대칭으로 인해 후자의 21개의 탄성 계수만 독립적이다.^[6] 이 숫자는 재료의 대칭에 의해 더욱 줄어들 수 있다. 사방정계 결정계의 경우 9개, 육방정계 구조의 경우 5개, 입방정계 결정계 대칭의 경우 3개이다.^[7] 등방성 매질(어떤 방향으로든 동일한 물리적 특성을 갖는)의 경우, c는 재료의 부피 변화에 대한 저항을 정량화하는 체적 탄성 계수 K와 전단 탄성 계수 G의 두 개의 독립적인 숫자와 전단 변형으로 줄일 수 있다.

3차원 응력이 작용하는 상태에서는 81개의 탄성 계수를 갖는 4계 탄성 계수 텐서 (

c_{ijkl}

), 응력 텐서 (

\sigma_{ij}

), 변형률 텐서 (

\varepsilon_{kl}

, 또는 그린 변형률 텐서)가 정의되며, 다음과 같은 관계를 가진다.

:

\sigma_{ij} = \sum_{kl} c_{ijkl} \cdot \varepsilon_{kl}

탄성 계수 텐서는 81개의 탄성 계수를 가지지만, 응력 텐서, 변형률 텐서, 강성 텐서의 대칭성에 의해, 이방성을 나타내는 물질에서도 21개의 탄성 계수만이 독립적이다.

응력은 압력의 단위로 표시되며, 변형률은 무차원량일 때,

c_{ijkl}

의 성분도 압력의 단위로 표시된다.

큰 변형에 대한 일반화로서는 네오-훅 고체(neo-Hookean solid)나 무니-리블린 고체(Mooney-Rivlin solid)에 의해 주어진다.

3. 2. 등방성 물질

등방성 물질은 그 성질이 방향에 따라 변하지 않는 물질을 말한다. 따라서 등방성 물질과 관련된 물리 방정식은 해당계를 나타내는 좌표계에 의존하지 않는다. 변형률 텐서는 대칭 텐서가 된다. 어떤 텐서의 자취도 좌표계에 의존하지 않으므로 대칭 텐서의 가장 완전한 좌표계 독립적인 분해 방법은 대칭 텐서를 상수 텐서와 자취가 0인 (traceless) 대칭 텐서의 합으로 표현하는 방법이다.^[18]

따라서,

:

\varepsilon_{ij}=\left(\frac{1}{3}\varepsilon_{kk}\delta_{ij}\right) +\left(\varepsilon_{ij}-\frac{1}{3}\varepsilon_{kk}\delta_{ij}\right)

여기서

\delta_{ij}

는 크로네커 델타이다. 우변의 첫 번째 항은 상수 텐서로, 압력으로 알려져 있다. 두 번째 항은 자취가 0인 대칭 텐서로, 전단 텐서로 알려져 있다.

훅의 법칙의 등방성 물질에서의 가장 일반적인 형식은 이 두 텐서의 선형 결합으로 다시 쓸 수 있으며,

:

\sigma_{ij}=3K\left(\frac{1}{3}\varepsilon_{kk}\delta_{ij}\right)+2G\left(\varepsilon_{ij}-\frac{1}{3}\varepsilon_{kk}\delta_{ij}\right)

이다. 여기서 ''K''는 체적 탄성률이고, ''G''는 전단 탄성률이다.

탄성 계수 간의 관계를 이용하여 이러한 등식은 다른 형태로 표현할 수 있다. 예를 들어, 변형률은 응력 텐서를 이용하여

:

\begin{align}& \varepsilon_{11} = \frac{1}{E}\left( \sigma_{11} - \nu(\sigma_{22}+\sigma_{33}) \right) \\& \varepsilon_{22} = \frac{1}{E}\left( \sigma_{22} - \nu(\sigma_{11}+\sigma_{33}) \right) \\& \varepsilon_{33} = \frac{1}{E}\left( \sigma_{33} - \nu(\sigma_{11}+\sigma_{22}) \right) \\& \varepsilon_{12} = \frac{\sigma_{12}}{G} \\& \varepsilon_{13} = \frac{\sigma_{13}}{G} \\& \varepsilon_{23} = \frac{\sigma_{23}}{G}\end{align}

와 같이 나타낼 수 있다. 여기서

E

는 영률이고

\nu

는 푸아송 비이다.

3. 2. 1. 탄성 계수

탄성체는 하중을 가하면 변형을 일으키지만, 하중을 제거하면 원래의 형태로 돌아가는 (즉, 물질 내의 분자나 원자가 초기 안정 상태로 돌아가는) 성질을 갖는다. 이러한 탄성체는 많은 경우 훅의 법칙을 따른다.

길이 ''L'' (m)과 단면적 ''A'' (m²)를 갖는 탄성 재료로 만들어진 막대를 선형 스프링으로 간주할 때, 그 변형률 ε (단위 없음)는 인장 응력 ''σ'' (N/m²)에 비례하고, 탄성 계수라고 불리는 상수 ''E'' (N/m²)에 반비례한다. 따라서

:σ = E ε

또는

:ΔL = (F/EA)L = (σ/E)L

이다.

훅의 법칙은 제한된 하중 조건 하에서 몇몇 재료에 대해서만 성립한다. 강철을 공학적으로 응용할 때, 많은 경우에서 선형 탄성의 거동을 보인다. 따라서 훅의 법칙은 그 '''탄성 영역''' (즉, 항복 강도보다 낮은 응력)에서 성립한다. 그러나 알루미늄과 같은 일부 재료에서는 훅의 법칙은 탄성 영역의 일부에서만 성립한다. 이러한 재료에서는 내력이라고 불리는 비례 한도가 정의되며, 비례 한도 이하에서만 선형 근사와 실제 거동 간의 오차를 무시할 수 있다.

고무는 일반적으로 비 훅 탄성 (비 훅 탄성/non-hookean elasticity^영어)의 재료로 간주된다. 이는 탄성이 응력에 의존하고, 또한 온도와 하중 속도에 민감하기 때문이다.

훅의 법칙의 응용으로는, 스프링을 사용한 저울, 재료의 응력 해석, 모델링 등이 있다.

3. 2. 2. 영률과 푸아송 비

탄성체는 하중을 가하면 변형을 일으키지만, 하중을 제거하면 원래의 형태로 돌아가는 (즉, 물질 내의 분자나 원자가 초기 안정 상태로 돌아가는) 성질을 갖는다. 이러한 탄성체는 많은 경우 훅의 법칙을 따른다.

길이 ''L'' (m)과 단면적 ''A'' (m²)를 갖는 탄성 재료로 만들어진 막대를 선형 스프링으로 간주할 때, 그 변형률

\varepsilon

(단위 없음)는 인장 응력 ''σ'' (N/m²)에 비례하고, 탄성 계수라고 불리는 상수 ''E'' (N/m²)에 반비례한다. 따라서

:

\sigma = E \varepsilon

또는

:

\Delta L = \frac{F}{E A} L = \frac{\sigma}{E} L

이다.

훅의 법칙은 제한된 하중 조건 하에서 몇몇 재료에 대해서만 성립한다. 강철을 공학적으로 응용할 때, 많은 경우에서 선형 탄성의 거동을 보인다. 따라서 훅의 법칙은 그 '''탄성 영역''' (즉, 항복 강도보다 낮은 응력)에서 성립한다. 그러나 알루미늄과 같은 일부 재료에서는 훅의 법칙은 탄성 영역의 일부에서만 성립한다. 이러한 재료에서는 내력이라고 불리는 비례 한도가 정의되며, 비례 한도 이하에서만 선형 근사와 실제 거동 간의 오차를 무시할 수 있다.

고무는 일반적으로 비 훅 탄성 (비 훅 탄성/non-hookean elasticity^영어)의 재료로 간주된다. 이는 탄성이 응력에 의존하고, 또한 온도와 하중 속도에 민감하기 때문이다.

훅의 법칙의 응용으로는, 스프링을 사용한 저울, 재료의 응력 해석, 모델링 등이 있다.

3. 2. 3. 평면 응력 및 평면 변형률

평면 응력 조건에서 σ₃₁ = σ₁₃ = σ₃₂ = σ₂₃ = σ₃₃ = 0이다. 이 경우 훅의 법칙은 다음과 같은 형태를 가진다.

:

```

[σ11 σ22 σ12] = E/(1-ν^2) [1 ν 0; ν 1 0; 0 0 (1-ν)/2] [ε11 ε22 2ε12]

```

벡터 표기법으로 표현하면 다음과 같다.

:

```

[σ11 σ12; σ12 σ22] = E/(1-ν^2) ((1-ν)[ε11 ε12; ε12 ε22] + νI(ε11 + ε22))

```

역 관계는 일반적으로 축약된 형태로 작성된다.

:

```

[ε11 ε22 2ε12] = 1/E [1 -ν 0; -ν 1 0; 0 0 2+2ν] [σ11 σ22 σ12]

```

평면 변형률 조건에서 ε₃₁ = ε₁₃ = ε₃₂ = ε₂₃ = ε₃₃ = 0이다. 이 경우 훅의 법칙은 다음과 같은 형태를 가진다.

:

```

[σ11 σ22 σ12] = E/((1 + ν)(1 - 2ν)) [1 - ν ν 0; ν 1 - ν 0; 0 0 (1 - 2ν)/2] [ε11 ε22 2ε12]

3. 3. 이방성 물질

코시 응력 텐서(''σ_ij'' = ''σ_ji'')와 일반화된 훅의 법칙(''σ_ij'' = ''c_ijklε_kl'')의 대칭성은 ''c_ijkl'' = ''c_jikl''임을 의미한다. 마찬가지로, 미소 변형률 이론의 대칭성은 ''c_ijkl'' = ''c_ijlk''임을 의미한다. 이러한 대칭성을 강성 텐서 '''c'''의 '''소수 대칭'''이라고 한다. 이는 탄성 상수의 수를 81개에서 36개로 줄인다.

또한, 변위 기울기와 코시 응력이 일-공액 관계에 있으므로 응력-변형률 관계를 변형 에너지 밀도 범함수 (''U'')에서 유도할 수 있다면,

\sigma_{ij} = \frac{\partial U}{\partial \varepsilon_{ij}} \quad \implies \quadc_{ijkl} = \frac{\partial^2 U}{\partial \varepsilon_{ij}\partial \varepsilon_{kl}}\,.

미분 순서의 임의성은 ''c_ijkl'' = ''c_klij''임을 의미한다. 이를 강성 텐서의 '''주요 대칭'''이라고 한다. 이는 탄성 상수의 수를 36개에서 21개로 줄인다. 주요 대칭과 소수 대칭은 강성 텐서가 21개의 독립적인 성분만 가지고 있음을 나타낸다.

4. 유사 법칙

훅의 법칙은 두 양 사이의 단순한 비례 관계이기 때문에, 그 공식과 결과는 유체의 움직임, 또는 유전체의 전기장에 의한 분극을 설명하는 것과 같은 다른 많은 물리 법칙의 공식과 수학적으로 유사하다.

탄성 응력과 변형률을 연결하는 텐서 방정식 '''σ''' = '''cε'''는 점성 응력 텐서 '''τ'''와 변형률 텐서 '''ε̇'''를 점성 유체의 흐름에서 연결하는 방정식 '''τ''' = '''με̇'''와 완전히 유사하다. 전자는 정적 응력(변형 ''량''과 관련)과 관련이 있는 반면, 후자는 동역학적 응력(변형 ''률''과 관련)과 관련이 있다.

5. 측정 단위

국제 단위계에서 변위는 미터(m)로, 힘은 뉴턴(N 또는 kg·m/s²)으로 측정된다. 따라서, 용수철 상수 ''k''와 텐서 '''κ'''의 각 요소는 뉴턴/미터(N/m) 또는 킬로그램/초²(kg/s²)로 측정된다.

연속 매체의 경우, 응력 텐서 '''σ'''의 각 요소는 면적으로 나눈 힘이며, 파스칼(Pa, 또는 N/m², 또는 kg/(m·s²)) 단위의 압력으로 측정된다. 변형률 텐서 '''ε'''의 요소는 무차원량이다(거리에 대한 변위). 따라서 ''c_ijkl''의 항목도 압력 단위로 표시된다.

6. 탄성 재료에 대한 일반적인 응용

힘에 의해 변형된 후 원래 모양을 빠르게 되찾는 물체는 재료의 분자 또는 원자가 안정적인 평형의 초기 상태로 돌아가면서 종종 훅의 법칙을 따른다.

훅의 법칙은 특정 하중 조건에서 일부 재료에 대해서만 성립한다. 강철은 대부분의 엔지니어링 응용 분야에서 선형 탄성 거동을 보이며, 훅의 법칙은 '''탄성 범위''' 전체(즉, 항복 강도 미만의 응력에 대해)에 유효하다. 응력–변형률 곡선은 저탄소강의 경우 응력 (단위 면적당 힘)과 변형률 (결과적인 압축/신장, 변형으로 알려짐) 사이의 관계를 보여준다. 훅의 법칙은 곡선의 원점과 항복점(2) 사이의 부분에 대해서만 유효하다. 알루미늄과 같은 일부 다른 재료의 경우, 훅의 법칙은 탄성 범위의 일부에 대해서만 유효하다. 이러한 재료의 경우 선형 근사와 관련된 오차가 무시할 수 있는 비례 한계 응력이 정의된다.

고무는 탄성이 응력에 의존하고 온도 및 하중 속도에 민감하기 때문에 일반적으로 "비-훅" 재료로 간주된다.

큰 변형의 경우에 대한 훅의 법칙의 일반화는 네오-훅 고체 및 무니-리블린 고체 모델에 의해 제공된다.

7. 유도 공식

7. 1. 균일한 막대의 인장 응력

어떤 탄성 재료로 만들어진 막대는 선형 스프링으로 간주될 수 있다. 막대는 길이 L과 단면적 A를 가진다. 이 막대의 인장 응력 σ는 탄성 계수 E에 의해 변형률 ε에 선형적으로 비례한다.

σ = E ε

탄성 계수는 종종 상수로 간주될 수 있다.

ε = ΔL/L (즉, 길이의 분수 변화)이고, σ = F/A 이므로 다음과 같다.

ε = σ/E = F/AE.

길이 변화는 다음과 같이 표현할 수 있다.

ΔL = εL = FL/AE.

7. 2. 용수철 에너지

스프링에 저장된 탄성 위치 에너지 ''U''_el(''x'')는 다음 식으로 주어진다.

:

U_\mathrm{el}(x) = \tfrac 1 2 kx^2

이는 스프링을 점진적으로 압축하는 데 필요한 에너지를 더하여 얻어진다. 즉, 변위에 대한 힘의 적분이다. 외부 힘은 변위와 일반적인 방향이 같으므로 스프링의 위치 에너지는 항상 0 이상이다.

x=F/k

를 대입하면 다음을 얻는다.

:

U_\mathrm{el}(F) = \frac{F^2}{2 k}.

이 위치 에너지 ''U''_el는 ''Ux''-평면에서 ''U''_el(''x'') = ''kx''²와 같은 포물선으로 시각화할 수 있다. 스프링이 양의 ''x''-방향으로 늘어나면 위치 에너지는 포물선으로 증가한다 (스프링이 압축될 때도 마찬가지이다). 위치 에너지의 변화는 일정한 속도로 변화하기 때문에 다음과 같다.

:

\frac{d^2 U_\mathrm{el}}{dx^2}=k\,.

변위와 가속도가 0일 때조차도 ''U'' 변화량의 변화는 일정하다는 점에 유의해야 한다.

[[File:Stress v strain A36 2.svg|thumb|right|300px|저탄소 강철의 응력-변형률 선도. 훅의 법칙은 곡선 전체 중 원점과 항복점 사이의 일부에서만 성립한다.

1. 극한 강도

2. 항복 응력 (항복점)

3. 파단 강도 (파단점)

4. 소성 경화 영역

5. 넥킹 영역

A: 공칭 응력 (F/A₀)

B: 진 응력 (실 응력) (F/A)]]

가장 흔히 사용되는 형식의 훅의 법칙은 용수철 방정식이며, 용수철 방정식에서는 힘과 용수철의 자연 길이로부터의 늘어남이 용수철 상수

k

(단위는 단위 길이당 힘)에 의해 연결되어 있다.

:

F = -kx

마이너스 부호는 용수철에 의한 힘이 변위와 정반대 방향으로 작용한다는 것을 나타낸다. 이 힘은 계를 평형 상태로 되돌리도록 작용하기 때문에 '''복원력'''이라고 불린다.

용수철에 축적된 포텐셜 에너지는

:

U={1\over2}kx^2

로 주어진다. 이 에너지의 식은 용수철을 서서히 밀어 줄이는 데 필요한 에너지를 더함으로써 얻어진다. 즉, 힘을 거리에 관해 적분하는 것과 같다. 용수철의 포텐셜 에너지는 항상 부호가 양수이다.

이 포텐셜을 ''U''-''x'' 면에 그리면 포물선(이차 함수의 그래프)이 된다. 용수철이 ''x''의 양의 방향으로 늘어남에 따라 포텐셜 에너지는 증가한다(용수철을 줄인 경우에도 같은 일이 일어난다). 또한 평형 위치(''x'' = 0)가 가장 에너지가 낮기 때문에 용수철은 포텐셜 에너지를 작게 하도록 평형 위치로 되돌아가려 한다. 이는 포텐셜 에너지의 그래프 위를 중력에 의한 포텐셜을 최소화하도록 공이 굴러 떨어지는 것과 유사하다.

만약 질량 ''m''인 물체가 이러한 용수철에 연결되어 있다면, 그 계는 조화 진동자가 된다. 이 계는 다음 식으로 주어지는 기본 진동수로 진동한다.

:

\omega =  \sqrt{k \over m}

[라디안 매초] (각진동수)

또는

:

f = {1 \over 2 \pi} \sqrt{k \over m}

헤르츠

여기서

f

는 주파수이므로

\omega = {2 \pi f}

이다.

7. 3. 조화 진동자

질량 이 용수철 끝에 매달린 것은 조화 진동자의 고전적인 예이다. 질량을 약간 잡아당겼다가 놓으면, 이 시스템은 평형 위치를 중심으로 사인파 진동 운동을 하게 된다. 용수철이 훅의 법칙을 따르고, 마찰과 용수철의 질량을 무시할 수 있다면, 진동의 진폭은 일정하게 유지될 것이고, 그 진동수 는 진폭과 무관하며, 단지 질량과 용수철의 강성에 의해서만 결정된다.

f = \frac{1}{2 \pi} \sqrt\frac{k}{m}

이 현상으로 인해 정확한 기계식 시계와 배나 사람들의 주머니에 넣을 수 있는 손목시계의 제작이 가능해졌다.

가장 흔히 사용되는 형식의 훅의 법칙은 아마도 용수철 방정식일 것이다. 용수철 방정식에서는 힘과 용수철의 자연 길이로부터의 늘어남이 용수철 상수 (단위는 단위 길이당 힘)에 의해 연결되어 있다.

마이너스 부호는 용수철에 의한 힘이 변위와 정반대 방향으로 작용한다는 것을 나타낸다. 이 힘은 계를 평형 상태로 되돌리도록 작용하기 때문에 '''복원력'''이라고 불린다.

용수철에 축적된 포텐셜 에너지는

로 주어진다. 이 에너지의 식은 용수철을 서서히 밀어 줄이는 데 필요한 에너지를 더함으로써 얻어진다. 즉, 힘을 거리에 관해 적분하는 것과 같다. 용수철의 포텐셜 에너지는 항상 부호가 양수이다.

이 포텐셜을 ''U''-''x'' 면에 그리면 포물선(이차 함수의 그래프)이 된다. 용수철이 ''x''의 양의 방향으로 늘어남에 따라 포텐셜 에너지는 증가한다(용수철을 줄인 경우에도 같은 일이 일어난다). 또한 평형 위치(''x'' = 0)가 가장 에너지가 낮기 때문에 용수철은 포텐셜 에너지를 작게 하도록 평형 위치로 되돌아가려 한다. 이는 포텐셜 에너지의 그래프 위를 중력에 의한 포텐셜을 최소화하도록 공이 굴러 떨어지는 것과 유사하다.

만약 질량 ''m''인 물체가 이러한 용수철에 연결되어 있다면, 그 계는 조화 진동자가 된다. 이 계는 다음 식으로 주어지는 기본 진동수로 진동한다.

또는

여기서 는 주파수이므로

\omega = {2 \pi f}

이다.

8. 여러 개의 용수철

두 개의 용수철이 물체에 연결된 경우, 용수철 상수나 에너지는 전체적으로 다음과 같은 값을 가진다.

값의 이름	직렬 연결의 경우	병렬 연결의 경우
	직렬 연결된 용수철	병렬 연결된 용수철
전체 용수철 상수	$\frac{1}{k_{\mathrm{eq}}} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2}$	$k_{\mathrm{eq}} = k_1 + k_2$
줄어드는 거리의 관계	$\frac{x_1}{x_2} = \frac{k_2}{k_1}$	$x_1 = x_2$
축적되는 에너지	$\frac{E_1}{E_2} = \frac{k_2}{k_1}$	$\frac{E_1}{E_2} = \frac{k_1}{k_2}$

8. 1. 직렬 연결

두 개의 용수철이 물체에 연결된 경우, 전체 용수철 상수, 줄어드는 거리의 관계, 축적되는 에너지의 관계는 연결 방식에 따라 달라진다.

값의 이름	직렬 연결의 경우	병렬 연결의 경우

전체 용수철 상수	$\frac{1}{k_{\mathrm{eq}}} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2}$	$k_{\mathrm{eq}} = k_1 + k_2$
줄어드는 거리의 관계	$\frac{x_1}{x_2} = \frac{k_2}{k_1}$	$x_1 = x_2$
축적되는 에너지	$\frac{E_1}{E_2} = \frac{k_2}{k_1}$	$\frac{E_1}{E_2} = \frac{k_1}{k_2}$

직렬 연결의 경우 전체 용수철 상수는 $\frac{1}{k_{\mathrm{eq}}} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2}$ 와 같이 계산된다. 두 용수철에 작용하는 힘의 크기는 같으므로, 줄어드는 거리의 관계는 $\frac{x_1}{x_2} = \frac{k_2}{k_1}$ 이다. 축적되는 에너지의 비는 $\frac{E_1}{E_2} = \frac{k_2}{k_1}$ 이다.

8. 2. 병렬 연결

두 개의 용수철이 물체에 병렬로 연결된 경우, 전체 용수철 상수와 에너지에 대한 내용은 다음과 같다.

값의 이름	병렬 연결의 경우

전체 용수철 상수	$k_{\mathrm{eq}} = k_1 + k_2$
줄어드는 거리의 관계	$x_1 = x_2$
축적되는 에너지	$\frac{E_1}{E_2} = \frac{k_1}{k_2}$

병렬 연결의 경우, 두 용수철이 블록과 벽에 접해 있으므로 두 용수철의 압축량은 항상 동일하다. 블록에 작용하는 힘은 $F_{\mathrm{b}} = F_1 + F_2 = -k_1 x - k_2 x$ 이고, 이를 정리하면 $F_{\mathrm{b}} = - (k_1 + k_2) x$ 가 된다. 따라서 용수철 전체의 겉보기 용수철 상수는 $k_{\mathrm{eq}} = k_1 + k_2$ 로 정의할 수 있다.

축적되는 에너지의 경우, $\frac{E_1}{E_2} = \frac{k_1 x^2 / 2}{k_2 x^2 / 2}$ 이고, 두 용수철의 줄어드는 거리는 같으므로 약분하여 $\frac{E_1}{E_2} = \frac{k_1}{k_2}$ 로 나타낼 수 있다.

9. 열역학적 기초

탄성 재료의 선형 변형은 단열 과정으로 근사될 수 있다. 이러한 조건과 준정적 과정을 가정하면, 변형된 물체에 대한 열역학 제1법칙은 다음과 같이 표현할 수 있다.

: $\delta W = \delta U$

여기서 는 내부 에너지의 증가분이고, 는 외부 힘에 의해 수행된 일이다. 일은 표면력에 의한 일()과 체적력에 의한 일()의 두 항으로 나눌 수 있다.

물체 내 변위장 의 변분을 라 하면, 두 외부 일 항은 표면 트랙션 벡터 , 체적력 벡터 , 물체 , 그 표면 를 사용하여 표현할 수 있다. 코시 응력과 표면 트랙션 사이의 관계 (여기서 은 에 대한 단위 외부 법선)을 사용하고, 표면 적분을 발산 정리를 통해 체적 적분으로 변환하면 다음과 같다.

: $\delta U = \int_{\Omega} \left(\boldsymbol{\sigma}:\tfrac12\left(\nabla\delta\mathbf{u}+(\nabla\delta\mathbf{u})^\mathsf{T}\right) + \left(\nabla\cdot\boldsymbol{\sigma}+\mathbf{b}\right)\cdot\delta\mathbf{u}\right)\,dV \,.$

변형률의 정의와 평형 방정식으로부터 다음을 얻는다.

: $\delta\boldsymbol{\varepsilon} = \tfrac12\left(\nabla\delta\mathbf{u}+(\nabla\delta\mathbf{u})^\mathsf{T}\right) \,;\qquad\nabla\cdot\boldsymbol{\sigma}+\mathbf{b}=\mathbf{0} \,.$

따라서 내부 에너지 밀도의 변화는 다음과 같다.

: $\delta U_0 = \boldsymbol{\sigma}:\delta\boldsymbol{\varepsilon} \,.$

탄성 재료는 총 내부 에너지가 내부 힘의 포텐셜 에너지(탄성 변형 에너지)와 같은 재료로 정의된다. 내부 에너지 밀도는 변형률의 함수이며 (), 변형률의 변화는 임의적이므로 탄성 재료의 응력-변형률 관계는 다음과 같다.

: $\boldsymbol{\sigma} = \frac{\partial U_0}{\partial\boldsymbol{\varepsilon}}\,.$

선형 탄성 재료의 경우, }}는 의 선형 함수이며, 다음과 같이 표현할 수 있다.

: $\boldsymbol{\sigma} = \mathsf{c}:\boldsymbol{\varepsilon}$

여기서 '''c'''는 물질 상수 4차 텐서이며, '''강성 텐서'''라고도 한다. 인덱스 표기법으로 표현하면 다음과 같다.

: $\frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial\varepsilon_{kl}} = \text{constant} = c_{ijkl} \,.$

우변 상수는 4개의 인덱스가 필요하며, 이는 4차량이다. 이 양은 변형률 텐서를 응력 텐서로 변환하는 선형 변환이기 때문에 텐서여야 한다.

10. 훅의 법칙과 한국 사회

참조

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_[2] 웹사이트 http://civil.lindaha[...]
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_[4] 서적 Sears and Zemansky's University Physics: With Modern Physics Pearson
_[5] 학술지 Size dependent nanomechanics of coil spring shaped polymer nanowires
_[6] 학술지 Deformation effects in layer crystals
_[7] 학술지 Necessary and sufficient elastic stability conditions in various crystal systems https://link.aps.org[...] 2014-12-05
_[8] 학술지 A relook at the compliance constants in redundant internal coordinates and some new insights
_[9] 학술지 Complete conformational space of the potential HIV-1 reverse transcriptase inhibitors d4U and d4C. A quantum chemical study
_[10] 서적 Mechanics Addison-Wesley
_[11] 서적 Computational Inelasticity Springer
_[12] 서적 The Theory of Composites Cambridge University Press
_[13] 서적 The Linearized Theory of Elasticity Birkhäuser
_[14] 서적 Advanced Mechanics of Materials Wiley
_[15] 서적 Stress Concentrations in Laminated Composites Technomic Publishing Company
_[16] 학술지 Universal Elastic Anisotropy Index
_[17] 웹사이트 アーカイブされたコピー http://www.lindahall[...]
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